David Hilbert

David Hilbert, nato il 23 gennaio 1862 a Königsberg, Prussia (l'odierna Kaliningrad, Russia) e morto il 14 febbraio 1943 a Göttingen, Germania, � stato uno dei pi� eminenti matematici a cavallo tra il XIX e il XX secolo.

Si diplomò al liceo della sua città natale, iscrivendosi all'Università di Königsberg. Ottenne il dottorato con Lindemann, nel 1885 con la tesi Über invariante Eigenschaften specieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunctionen (trad.: Sulle proprietà invarianti di speciali forme binarie, in particolare le funzioni circolari) . Nello stesso periodo era studente di dottorato nella stessa università anche Hermann Minkowski, a cui fu legato da profonda amicizia e un'altrettanto profonda influenza reciproca si ebbe nei loro lavori.

Hilbert rimase all'Università come docente dal 1886 al 1895, quando in seguito all'interessamento di Klein ottenne la cattedra di Matematica a Göttingen, dove restò fino alla fine della sua carriera.

Table of contents

1 Il teorema di finitezza
2 Assiomatizzazione della geometria
3 I 23 Problemi
4 Spazi di Hilbert
5 Hilbert, Einstein e le equazioni di campo
6 Riconoscimenti
7 Elenco dei 23 problemi di Hilbert
8 Bibliografia

Il teorema di finitezza

Il primo lavoro di Hilbert sulle funzioni invarianti lo portò a dimostrare nel 1888 il suo famoso teorema di finitezza. Vent'anni prima Gordan aveva dimostrato il teorema della finitezza dei generatori per le forme binarie usando un complesso approccio computazionale. I tentativi di generalizzare questo metodo per funzioni con pi� di due variabili fallirono, proprio a causa delle difficoltà di calcolo. Lo stesso Hilbert cercò all'inizio di seguire il sistema di Gordan, ma ben presto capì di dover intraprendere una strada del tutto diversa. Dimostrò così il Teorema di Finitezza di Hilbert: un metodo per dimostrare che esiste un insieme di generatori finito per un numero di variabili qualsiasi, ma in forma totalmente astratta: pur dimostrandone l'esistenza, non si fornisce un sistema per costruirlo.

Hilbert inviò il suo lavoro ai Mathematische Annalen. Gordan, l'esperto sulla teoria degli invarianti per i Mathematische Annalen, non riuscì ad apprezzare il rivoluzionario teorema di Hilbert e rifiutò l'articolo, criticandone l'esposizione, a suo dire poco esaustiva. Il suo commento fu:

Questa � Teologia, non Matematica!

Tuttavia Klein riconobbe l'importanza del lavoro di Hilbert, e gli garantì la pubblicazione, senza alcun cambiamento. Spronato da Klein e dai commenti di Gordan, Hilbert in un secondo articolo espanse il suo metodo, fornendo stime sul grado massimale dell'insieme minimo dei generatori, e lo inviò di nuovo agli Annalen. Dopo aver letto il manoscritto, Klein gli scrisse, dicendo:

Senza dubbio questo � il lavoro pi� importante sull'algebra generale che gli Annalen abbiano mai pubblicato.

Assiomatizzazione della geometria

Il lavoro Grundlagen der Geometrie (trad.: Fondamenti di Geometria) pubblicato da Hilbert nel 1899 sostituisce agli assiomi di Euclide un insieme formale, composto di 21 assiomi, che evita le contraddizioni derivanti da quello di Euclide. Indipendentemente e contemporaneamente, uno studente statunitense di 19 anni, Robert Moore pubblicò un insieme di assiomi equivalenti. È interessante notare che, sebbene alcuni assiomi siano gli stessi, qualche assioma di Moore � un teorema nel sistema di Hilbert, e viceversa.

I 23 Problemi

Dopo aver risolto brillantemente i problemi della geometria, Hilbert si accinse a fare lo stesso con la matematica. Riconoscendo comunque l'impresa superiore alle sue sole forze, preparò una lezione dal titolo "I Problemi della Matematica" per il Secondo Congresso Internazionale di Matematica.

Eccone l'introduzione:

Chi di noi non sarebbe felice di sollevare il velo dietro cui si nasconde il futuro; di gettare uno sguardo ai prossimi sviluppi della nostra scienza e ai segreti del suo sviluppo nei secoli a venire? Quali saranno le mete verso cui tenderà lo spirito delle future generazioni di matematici? Quali metodi, quali fatti nuovi schiuderà il nuovo secolo nel vasto e ricco campo del pensiero matematico?

Il discorso venne pronunciato a Parigi durante il Congresso, dove Hilbert introdusse i suoi famosi 23 problemi: anche se alcuni vennero risolti in breve termine, altri sono stati e continuano ad essere una sfida per i matematici.

Con questa iniziativa, Hilbert diede il via alla scuola formalista, una delle tre scuole della matematica del 1900. Secondo il formalismo la matematica � un gioco privo di significato in cui si gioca con contrassegni privi di significato secondo regole formali concordate in partenza. Essa � quindi un'attività autonoma del pensiero. (Cfr: Hermann Hesse - Il giuoco delle perle di vetro).

Nonostante le buone intenzioni, il suo tentativo di assiomatizzazione della matematica era destinato a fallire: nel 1931 Gödel dimostrò come un sistema formale che non fosse contraddittorio non potesse dimostrare la sua completezza. Tuttavia nulla si dice riguardo la dimostrazione da parte di un differente sistema formale sulla completezza della matematica.

Tra i suoi studenti vi furono Hermann Weyl, il campione di scacchi Lasker e Ernst Zermelo. John Von Neumann fu suo assistente.

Sulla sua lapide, a Göttingen, si legge il seguente epitaffio:

Wir müssen wissen, wir werden wissen - Dobbiamo sapere, sapremo.

Spazi di Hilbert

Circa nel 1909, Hilbert si dedicò allo studio delle equazioni differenziali ed integrali: i suoi lavori portarono direttamente allo sviluppo della moderna analisi funzionale. Per questi suoi studi, Hilbert introdusse il concetto di spazio a infinite dimensioni, chiamato in seguito Spazio di Hilbert. Oltre ad essere di grande utilità nello studio della della meccanica quantistica, gli permise di contribuire allo sviluppo della teoria cinetica dei gas e alla teoria della radiazione. In seguito, Stefan Banach ampliò il concetto, definendo gli spazi di Banach, fondamento dell'assiomatizzazione della teoria delle funzioni integrali.

Hilbert, Einstein e le equazioni di campo

Un'opinione diffusa tra i matematici � che Hilbert scoprì le equazioni di campo per la teoria della relatività generale prima di Albert Einstein, ma che non rivendicò mai la scoperta. Un interessante articolo (L. Corry, J. Renn, J. Stachel, Belated Decision in the Hilbert-Einstein Priority Dispute, Science 278 del 14 Novembre 1997) mostra come Hilbert inviò il suo articolo il 20 novembre 1915, cinque giorni prima di quello di Einstein con le equazioni corrette. L'articolo di Hilbert uscì il 6 dicembre senza le equazioni, quello di Einstein il 2. Tuttavia, nella versione andata alle stampe, Hilbert aggiunse:

"Le equazioni differenziali della gravitazione ottenute mi sembrano in accordo con la magnifica teoria della relatività generale enunciata da Einstein nel suo ultimo articolo"

Appare dunque evidente che Hilbert lesse l'articolo di Einstein, e aggiunse al suo il riconoscimento della priorità di Einstein.

Riconoscimenti

1905 - Menzione speciale dell'Accademia Ungherese delle Science
1930 - La città di Königsberg, in occasione del pensionamento, gli conferisce la cittadinanza onoraria.
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Elenco dei 23 problemi di Hilbert

Cantor's Problem of the Cardinal Number of the Continuum
The Compatibility of the Arithmetical Axioms
The Equality of the Volumes of Two Tetrahedra of Equal Bases and Equal Altitudes
Problem of the Straight Line as the Shortest Distance Between Two Points
Lie's Concept of a Continuous Group of Transformations Without the Assumption of the Differentiability of the Function Defining the Group
Mathematical Treatment of the Axioms of Physics
Irrationality and Transcendence of Certain Numbers
Problems of Prime Numbers
Proof of the Most General Law of Reciprocity in any Number Field
Determination of the Solvability of a Diophantine Equation
Quadratic Forms With Any Algebraic Numerical Coefficients
Extension of Kronecker's Theorem on Abelian Fields to Any Algebraic Realm of Rationality
Impossibility of Solution of the General Equation of the 7th Degree by Means of Functions of Only Two Arguments
Proof ofthe Finiteness of Certain Complete Systems of Functions
Rigorous Foundations of Schubert's Enumerative Calculus
Problem of the Topology of Algebraic Curves and Surfaces
Expressions of Definite Forms by Squares
Building up of Space From Congruent Polyhedra
Are The Solutions of Regular Problems in the Calculus of Variations Always Necessarily Analytic?
The General Problem of Boundary Values
Proof of the Existence of Linear Differential Equations Having a Prescribed Monodromic Group
Uniformization of Analytic Relations by Means of Automorphic Functions
Further Development of the Methods of the Calculus of Variations

Bibliografia

Piergiorgio Odifreddi, Divertimento Geometrico - Da Euclide ad Hilbert, 2003, Bollati Boringhieri, ISBN 8833957144
Un'esposizione chiara e compresibile degli "errori" di Euclide e delle soluzioni presenti nel Grundlagen der Geometrie, con riferimento alle geometrie non euclidee